極座標系での運動方程式とラグラジアン

ニュートン運動方程式って知ってますか?

\begin{align} \boldsymbol{F} &= m\boldsymbol{a} \\ &= m\boldsymbol{\ddot{r}} \\ &= m(\ddot{x}\mathbf{e}_x+\ddot{y}\mathbf{e}_y) \end{align}

非常に有名な物理法則です。直交座標表示になっていますがこれを極座標表示だとどうなるでしょうか。ここで \boldsymbol{r} \neq rであり、 \boldsymbol{r}は位置ベクトルを、 r極形式での動径を表すことに注意してください。

\begin{align} \boldsymbol{F} &= m\boldsymbol{\ddot{r}} \\ &= m\left((\ddot{r}-r\dot{\theta})\mathbf{e}_r + \frac{d}{dt}(r^2\ddot{\theta})\mathbf{e}_\theta\right) \, (\boldsymbol{r} \neq r) \\ \end{align}

これは覚えにくく、忘れやすいですね。 というわけでラグランジュ方程式を覚えようという話です。 ラグランジュ方程式とは次の式でニュートン運動方程式と等価です。

\begin{align} (\frac{d}{dt} \frac{\partial}{\partial \dot{r}} - \frac{\partial}{\partial r} ) L &= 0 \\ (\frac{d}{dt} \frac{\partial}{\partial \dot{\theta}} - \frac{\partial}{\partial \theta} ) L &= 0 \end{align}

 Lラグラジアンと言われる物理量で運動エネルギー T位置エネルギー Uの差で定義されます。

\begin{align} L &= T-U \\ T &= \frac{1}{2} m\boldsymbol{\dot{r}}^2 \\ U &= -\int \boldsymbol{F} \cdot d\mathbf{r} \end{align}

極形式でのラグラジアンを求めてみます。

\begin{align} L(r, \dot{r}, \theta, \dot{\theta}) = \frac{1}{2} m(\dot{r}^2 + r^2 \dot{\theta}^2) - U(r, \theta) \\ \frac{1}{2} m\left(\frac{d}{dt} \frac{\partial}{\partial \dot{r}} - \frac{\partial}{\partial r} \right) \left( (\dot{r}^2 + r^2 \dot{\theta}^2) - U\right) &= 0 \\ m\left(\ddot{r}-r\dot{\theta}\right) - F_r &= 0 \\ \frac{1}{2} m\left(\frac{d}{dt} \frac{\partial}{\partial \dot{\theta}} - \frac{\partial}{\partial \theta} \right) \left( (\dot{r}^2 + r^2 \dot{\theta}^2) - U\right) &= 0 \\ m\frac{d}{dt}(r^2\ddot{\theta}) - F_\theta &= 0 \end{align}

これで極形式運動方程式が導出できます。ただし以下の関係式を用いました。

\begin{align} \boldsymbol{F} = -\nabla U \, \left(F_r = -\frac{\partial}{\partial r}U ,\, F_\theta = -\frac{\partial}{\partial \theta}U\right) \end{align}
\begin{align} \boldsymbol{\dot{r}^2} &= v_x^2 + v_y^2 \\ &= \left( \frac{d}{dt} (r \cos \theta) \right)^2 + \left( \frac{d}{dt} (r \sin \theta) \right)^2 \\ &= (\dot{r} \cos \theta - r \dot{\theta} \sin \theta)^2 + (\dot{r} \sin \theta + r \dot{\theta} \cos \theta)^2 \\ &= \dot{r}^2 + r^2 \dot{\theta}^2 \end{align}

なぜラグランジュ方程式が嬉しいかを説明しますと座標変換に対して方程式が不変なんです。 具体的には3次元の球面座標や円柱座標系、もちろん直交座標系でもラグランジュ方程式から運動方程式を導出できます。 以下は球面座標の運動方程式ラグランジュ方程式です。この便利さを噛みしめましょう。

\begin{align} F_r &= m\ddot{r}-mr(\dot{\theta}^2 + \dot{\phi}^2 \sin^2\theta) \\ F_\theta &= \frac{d}{dt}(mr^2\dot{\theta})-mr^2\dot{\phi}^2 \sin\theta\cos\theta \\ F_\phi &= \frac{d}{dt}(mr^2\dot{\phi}\sin^2\theta) \end{align}
\begin{align} (\frac{d}{dt} \frac{\partial}{\partial \dot{r}} - \frac{\partial}{\partial r} ) L &= 0 \\ (\frac{d}{dt} \frac{\partial}{\partial \dot{\theta}} - \frac{\partial}{\partial \theta} ) L &= 0 \\ (\frac{d}{dt} \frac{\partial}{\partial \dot{\phi}} - \frac{\partial}{\partial \phi} ) L &= 0 \end{align}

もしかしたら一般化座標やハミルトニアンの話に続きます。