bashのプロンプトフォーマットについて
プロンプトには通常ホスト名が表示されるようになっていますが、gitや仮想環境をつかっていたりしてごっちゃになったので、 自分用メモを残していきます。
# ~.bashrcに以下を記載 PS1=\[\e[32m\]\u\[\e[00m\]:\[\e[36m\]\w\[\e[35m\]$(__git_ps1)\[\e[00m\]\n $
以下のように表示されます。
usr:cd (git_branch)
$ command
解説
PS1という環境変数にはbashのプロンプトに表示されるデータをいれます。
- \u : ユーザー名
- \h : ホスト名 ＊今回は使ってません
- \w : カレントディレクトリ名
- [\e[色指定m]
# 色一覧 30m Black 31m Red 32m Green 33m Yellow 34m Blue 35m Purple 36m Cyan 37m White
極座標系での運動方程式とラグラジアン
\begin{align}
\boldsymbol{F} &= m\boldsymbol{a} \\
&= m\boldsymbol{\ddot{r}} \\
&= m(\ddot{x}\mathbf{e}_x+\ddot{y}\mathbf{e}_y)
\end{align}
非常に有名な物理法則です。直交座標表示になっていますがこれを極座標表示だとどうなるでしょうか。ここでであり、
は位置ベクトルを、
は極形式での動径を表すことに注意してください。
\begin{align}
\boldsymbol{F} &= m\boldsymbol{\ddot{r}} \\
&= m\left((\ddot{r}-r\dot{\theta})\mathbf{e}_r + \frac{d}{dt}(r^2\ddot{\theta})\mathbf{e}_\theta\right) \, (\boldsymbol{r} \neq r) \\
\end{align}
これは覚えにくく、忘れやすいですね。 というわけでラグランジュ方程式を覚えようという話です。 ラグランジュ方程式とは次の式でニュートンの運動方程式と等価です。
\begin{align}
(\frac{d}{dt} \frac{\partial}{\partial \dot{r}} - \frac{\partial}{\partial r} ) L &= 0 \\
(\frac{d}{dt} \frac{\partial}{\partial \dot{\theta}} - \frac{\partial}{\partial \theta} ) L &= 0
\end{align}
はラグラジアンと言われる物理量で運動エネルギー
と位置エネルギー
の差で定義されます。
\begin{align}
L &= T-U \\
T &= \frac{1}{2} m\boldsymbol{\dot{r}}^2 \\
U &= -\int \boldsymbol{F} \cdot d\mathbf{r}
\end{align}
\begin{align}
L(r, \dot{r}, \theta, \dot{\theta}) = \frac{1}{2} m(\dot{r}^2 + r^2 \dot{\theta}^2) - U(r, \theta) \\
\frac{1}{2} m\left(\frac{d}{dt} \frac{\partial}{\partial \dot{r}} - \frac{\partial}{\partial r} \right) \left( (\dot{r}^2 + r^2 \dot{\theta}^2) - U\right) &= 0 \\
m\left(\ddot{r}-r\dot{\theta}\right) - F_r &= 0 \\
\frac{1}{2} m\left(\frac{d}{dt} \frac{\partial}{\partial \dot{\theta}} - \frac{\partial}{\partial \theta} \right) \left( (\dot{r}^2 + r^2 \dot{\theta}^2) - U\right) &= 0 \\
m\frac{d}{dt}(r^2\ddot{\theta}) - F_\theta &= 0
\end{align}
これで極形式の運動方程式が導出できます。ただし以下の関係式を用いました。
\begin{align}
\boldsymbol{F} = -\nabla U \, \left(F_r = -\frac{\partial}{\partial r}U ,\, F_\theta = -\frac{\partial}{\partial \theta}U\right)
\end{align}
\begin{align}
\boldsymbol{\dot{r}^2} &= v_x^2 + v_y^2 \\
&= \left( \frac{d}{dt} (r \cos \theta) \right)^2 + \left( \frac{d}{dt} (r \sin \theta) \right)^2 \\
&= (\dot{r} \cos \theta - r \dot{\theta} \sin \theta)^2 + (\dot{r} \sin \theta + r \dot{\theta} \cos \theta)^2 \\
&= \dot{r}^2 + r^2 \dot{\theta}^2
\end{align}
なぜラグランジュ方程式が嬉しいかを説明しますと座標変換に対して方程式が不変なんです。 具体的には３次元の球面座標や円柱座標系、もちろん直交座標系でもラグランジュ方程式から運動方程式を導出できます。 以下は球面座標の運動方程式とラグランジュ方程式です。この便利さを噛みしめましょう。
\begin{align}
F_r &= m\ddot{r}-mr(\dot{\theta}^2 + \dot{\phi}^2 \sin^2\theta) \\
F_\theta &= \frac{d}{dt}(mr^2\dot{\theta})-mr^2\dot{\phi}^2 \sin\theta\cos\theta \\
F_\phi &= \frac{d}{dt}(mr^2\dot{\phi}\sin^2\theta)
\end{align}
\begin{align}
(\frac{d}{dt} \frac{\partial}{\partial \dot{r}} - \frac{\partial}{\partial r} ) L &= 0 \\
(\frac{d}{dt} \frac{\partial}{\partial \dot{\theta}} - \frac{\partial}{\partial \theta} ) L &= 0 \\
(\frac{d}{dt} \frac{\partial}{\partial \dot{\phi}} - \frac{\partial}{\partial \phi} ) L &= 0
\end{align}
もしかしたら一般化座標やハミルトニアンの話に続きます。
物理の記号・記法について
物理（数学）で使われる記号・記法について簡単にまとめます。
書体
数学定数はローマン体 e.g.
数学関数もローマン体 e.g.
物理定数もローマン体 e.g.
変数はイタリック体 e.g.
ベクトル定数はボールド体 e.g.
ベクトル変数はボールドーイタリック体 e.g.
\begin{align}
\mathrm{grad} \ * &= \nabla * \\
\mathrm{div} \ * &= \nabla \cdot * \\
\mathrm{rot} \ * &= \nabla \times * \\
\end{align}
はてなブログでTeX表記
数式を書くからには で書きたいところです。
[tex: \mathrm{\pi} = 3.1415926535]
とやると
と表示されます。
また、記事内で既に表記を使用していれば
\begin{align}
\mathrm{e} = 2.7182818284
\end{align}でも大丈夫なようです。
実際は次のように運用することになります。
>| <span style="font-size: 150%"><div align="center">[tex:\displaystyle{\mathrm{e} = 2.7182818284}]</div></span>|<
非常に面倒なので、設定により省略できる方法があったら追記します。
